La hipérbola

En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir

P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF-PF' es constante

P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF'-PF es constante

Estas dos condiciones se pueden resumir en una: P es un punto de la hipérbola si y sólo si |PF-PF'| es una cantidad constante.
La hipérbola tiene dos ramas: la rama de la derecha cumple que PF'-PF es constante, y la rama de izquierda cumple que PF-PF' es constante

Los elementos fundamentales de la hipérbola

• Focos: son los puntos fijos F y F'
• Radio vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'
• Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'
• Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamarvértices de la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe el nombre de centro de la hipérbola. Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje imaginario, así como respecto a su centro.

Relación entre los elementos de la hipérbola

Sabemos que todo punto de la hipérbola cumple que la diferencia de distancias a los focos es constante. Vamos a llamar a dicha constante k.

Entonces tendremos:

• Como A es un punto de la hipérbola (rama derecha): AF'-AF = k ==> F'A' + A'A - AF = k
• Como A' es un punto de la hipérbola (rama izquierda): A'F-A'F' = k ==> A'A + AF - A'F' = k 

  Sumando término a término, obtenemos: F'A' + A'A - AF +AA' + AF - A'F' = 2K ==> 2 AA' = 2k ==>AA' = k
  

  Si llamamos "a" a la distancia desde el vértice A al centro de la hipérbola (ó desde A' al centro), entonces AA' = 2a = k
  De esta forma llegamos a la conclusión de que k=2a. Es decir: |PF - PF'| =2a siendo "a" la distancia desde A (ó A') al centro de la hipérbola.

• Como OF = OF', si hacemos OF = OF' = c, entonces la distancia focal será: FF' = 2c

En todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos. En el triángulo PFF', se tendrá que FF' > PF' - PF ==> 2c > 2a ==> c > a
Como c > a ==> c² > a² ==> c² - a² > 0
Por ser este número positivo se le puede llamar b² ==> c² - a² = b². Más adelante le daremos un significado a este número b.